Dwumian Newtona - Wiki

Dwumian Newtona

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Dwumian Newtona lub wzór Newtona to wzór pozwalający wyrazić potęgi sumy dwóch liczb. Jego najprostsza postać to

(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

gdzie \binom{n}{k} to symbol Newtona.

Spis treści

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Wzór prawdziwy jest dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b \in \mathbb{R}, co pokazuje poniższe twierdzenie.

Twierdzenie. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b \in \mathbb{R} i dowolnej liczby naturalnej n \in \mathbb{N} ma miejsce równość

(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}

Dowód. Dowód przeprowadzimy przy użyciu indukcji matematycznej. Dla n = 1 otrzymujemy

(a + b)^1 = a + b = \binom{1}{0} a b^0 + \binom{1}{1} a^0 b = \sum_{k = 0}^{1} \binom{1}{k} a^k b^{1 - k}

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego n. Wtedy dla n + 1 mamy

(a + b)^{n + 1} = (a + b)(a + b)^{n}= (a + b)\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n - k} =
= \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{k + 1} b^{n - k} + \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n - k + 1} =
= \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n + 1}{k} a^{k} b^{n - k + 1}

co kończy dowód.

[edytuj] Pierścienie

Wzór Newtona nie zachodzi we wszystkich pierścieniach, jednakże jeśli dwa elementy pierścienia x i y komutują ze sobą, to znaczy xy = yx, to wzór ma miejsce. Dowód jest identyczny, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Otrzymujemy stąd oczywisty wniosek

Wniosek. Wzór Newtona jest słuszny dla dowolnej pary elementów pierścienia przemiennego.

[edytuj] Uogólnienie

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) r-tą potęgę sumy.

(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}

W szczególności, dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona

(1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k

[edytuj] Zobacz też


Kto zamknął drzwi procesu o mord Politkowskiej?
Moskiewski proces w sprawie zabójstwa dziennikarki Anny Politkowskiej odbędzie się za zamkniętymi drzwiami. Stanie się tak, choć nawet sędziowie przysięgli, którzy orzekną o winie, nie domagali się zamknięcia postępowania dla publiczności i mediów - ujawnił jeden z nich Jewgienij Kołesow, w rozmowie z radiem Echo Moskwy.
Jest nowy Pirelli!
Piękne modelki i dzika przyroda - to zawartość najnowszego kalendarza Pirelli, którego najnowszą edycję na 2009 r. zaprezentowano właśnie w Berlinie. Wśród gwiazd kalendarza znalazła się również Polka - Małgorzata Bela.
Sikorski: nie ustępować Rosji
Jak ułożyć stosunki NATO-Rosja? Radosław Sikorski wezwał do jedności Sojuszu w polityce wobec Moskwy, opartej na poszanowaniu wartości demokratycznych i suwerenności.
Wybranka Obamy odmawia
Miliarderka z Chicago Penny Pritzker miała zostać sekretarzem ds. handlu. Ale... odmówiła - podał dziennik "Chicago Tribune", cytując wyższego rangą oficjela z otoczenia prezydenta-elekta. - Penny Pritzker w końcu zdecydowała, że nie chce zajmować się handlem - czytamy na e-stronach gazety.
Iran ma materiał na bombę atomową
Iran wyprodukował wystarczającą ilość materiału rozszczepialnego, żeby - przy dodatkowym oczyszczeniu paliwa - zbudować bombę atomową - donosi amerykański dziennik "New York Times", powołując się na rutynowy raport ekspertów z Międzynarodowej Agencji Energii Atomowej (IAEA).
Linki: Strona gwna